空间向量及其运算

袀第六节空间向量及其运算

蕿【最新考纲】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理

及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的

线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运

用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

莇1．空间向量的有关概念

膈2.空间向量中的有关定理

蚅(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在

1

肂(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，

共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．

袁(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空

间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb

＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

芇3．两个向量的数量积

膄(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

螂(2)空间向量数量积的运算律

蚈①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
薄③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

薃4．空间向量的坐标表示及其应用

螀设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

螇1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打

“×”)

芃(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.()

螁(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向

量．()

袆(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．()

蚆答案：(1)√(2)×(3)×(4)×

肃2．如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AC与BD的交点为

点M，设 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是

()
芈B. a＋b＋c

肆C．－a－b－c

螄D．－a－b＋c

蚀解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则， 3

薄答案：C

蚁3．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实

数λ的值为()

蝿A．－2B．－ C. D．2

羅解析：由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
葿答案：D

袇4．(2014·广东卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下面向量中与向量

a成60°夹角的是()

莄A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)

薀解析：对于选项B，设b＝(1，－1，0)．

羆a·b＝(1，0，－1)·(1，－1，0)＝1，且|a|＝|b|＝ ，

螃∴cos〈a，b〉＝ ＝ ＝，

蒁∴向量a与向量(1，－1，0)的夹角为60°.

蚂答案：B

莈5．有下列命题：

蒇①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；

葿③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c

也是空间的一个基底．

羆则其中正确的命题序号是________．

羂解析：显然①②正确． 5

蒀对于③若a＋b，a－b，c不是空间的一个基底，则c＝x(a＋b)＋y(a

－b)＝a(x＋y)＋b(x－y)

衿∴c与a，b共面，与向量a，b，c是空间的一个基底矛盾，因此③

正确．

正确．

蚂答案：①②③

薂一种意识——基底意识

螅?两种方法——基向量法和坐标法

蒃用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系

的可用坐标运算求解．

荿?三个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的问题

芀1．注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；

膃3．注意向量共线与两直线平行与重合的区别．

莀一、选择题

蒈1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()

蚄A．垂直 B．平行

羄C．异面 D．相交但不垂直

蒂解析：由题意得， ＝(1，1，－1)，

莇又与 没有公共点．∴AB∥CD.

蚄答案：B

艿2．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()

7

螆B. ·＝ ·

蒄C.· > ·

芁D.· 与 · 的大小不能比较

羇解析：取BD的中点F，连接EF，则EF CD.

膆因为AE⊥BC，〈 ，〉＝〈 ，〉>90°.

袁所以· ＝0， ·<0，

莂因此 · > · .

荿答案：C

则A，B，C，P四点()

蚁A．一定不共面 B．一定共面

肄且＋＋＝1.所以P，A，B，C四点共面．

莁答案：B

芁4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b

互相垂直，则k的值是()

薆A．－1B.C.D.

膂2a－b＝(3，2，－2)，

节所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝

.

羈答案：D

·＋ · ＋

袂A．－1 B．0 C．1 D．2

薇＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a

＝0.

蚃答案：B

莃解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

羈则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．设M(x，y，z)

10

蒅∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)

膃∴x＝a，y＝，z＝.

羀∴M ，

蚆∴| |＝
袄答案：A

肁二、填空题

肈7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，

b，c三向量共面，则λ＝________．

11

薄即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，

袈∴ 解得λ＝－9.

膇答案：－9

螃8．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝

12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．

莄解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.

袀即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
莇∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.

袁答案：60°

羁9．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点

12

2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

袆∴ · ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－

16λ＋10＝6 －，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为

.

薁答案：

螈三、解答题

螆10．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，

4)，设a＝

芆(1)若|c|＝3，且c∥ ，求向量c；

节(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．

袀解：(1)∵c∥ ， ＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，

膈∴c＝m ＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，

13

蚅∴|c|＝＝3|m|＝3，

肂∴m＝±1.

袁∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．