空间图形认识初步

蚄第9章 空间图形认识初步

莅赛点突破

芁 我们所在的世界，是一个丰富多彩的图形世界.概括起来，图形可以分为立体图形和平面图形.对于立体图形的问题，我们要逐步学会将它们转化成平面图形的问题来解决，它包括：

莈1．展开与折叠

肅 将一个立体图形的表面展开，就得到了一个平面图形；反过来，将一个平面图形折叠起来，就得到一个立体图形。我们既要会将一个立体图形展开得到它的各个面，也要会将一个平面图形折叠起来，想象出它的立体形状。

螃2．立体的切割

肀 用一个平面去切割立体图形，会得到不同的形状的平面图形。此外，将一个立体图形

蒈3．从不同方向看 按不同的要求分割成一些小的立体图形，也是我们要探讨的内容。

芈2.正方体的展开图，一共有11种不同的情况。请大家试着画一画。

羈例2（第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）

袅如下图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多

面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？

羂解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面.

蚈 这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这

样上部共有9个顶点，下部也一样.因此，多面体的顶点总数为9×2=18（个）.

莆 在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条.因为每条虚线表示一条棱，两条实线

表示一条棱，所以多面体的总棱数为 19＋34÷2=36（条）.

蚃综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+18＋36＝74.

肂说明：关于多面体的顶点数（V），棱数（E），面数（F），数学家欧拉曾给出一个公式（欧

拉公式）：V＋F-E＝2.

聿根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：

肈E=V＋F-2=20＋18-2=36（条）.

蚆例3左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面，其中P，Q分别是

EF，FG 的中点.请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边.

标出对应的符号，见左下图.

薆（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的

平面.顶点：P在EF边上，Q在GF边上.边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面

上，PQ在EFGH面上.

蒅（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线.需要注意的是，立体图上的

A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所

在的平面.连好线的图形如右上图.

节例4用一个平面去截一个正方体，可以得到几边形？

袁解：两个平面相交，有且仅有一条交线，所以最多只能得到六边形.

芈如下图，可得到三角形、四边形、五边形和六边形.

芄例5（1997年安徽省初中数学竞赛试题）

莁设计一种方法，把一个立方体分割成55个小立方体（分得的立方体大小可以不相同）.

羈解：把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8 个立方体，共27-4+4×8=55

2

个立方体.

螆评注：对于本题，现在有下列一般的结论：一个立方体可以分割成n个立方体，这里n=

1,28,15,20,22,27,29,34,36,38,39,41,43,45,46及大于47的整数。

羃一个立方体能否分割成47个立方体，这还是一个没有解决的问题.

蒁例6（1992年第二届“勤奋杯”数学邀请赛初中一年级试题）

荿如图,将三个同样的正方体重叠放在不透明的桌面上,每个正方体的六个在上分别写有

1,2,3,4,5,6,并且相对的两个面上的数字之和是7,现在有5个面上的数字不论从哪个角度

都看不到,这5个看不到的面上的数字的乘积是 .

蒈解：因为相对的两个面上的数字之和是7，故最上面一块看不见的一面是1；

肆中间一块，5的对面是2，1的对面是6，看不见的两块是3和4；

薁下面一块，6的对面是1，4的对面是3，看不见的两块是5和2.

螀于是5个看不到的面上的数字的乘积是1×3×4×5×2=120.

袆例7用若干小立方块搭一个几何体放在桌面上,如图是它的主视图（从正面看的图）和俯

螅解：从主视图看，这个几何体有三层；从俯视图看,这个几何体的底层有7块.
视图（从上面看的图）,它的左视图（从左面看的图）没有确定,于是会有各种情况, 搭成

这个几何体的小立方块最少有几个,最多有几个？

最多有16 个.

膁例8（1997年第6届日本算术奥林匹克试题）

蚇有一个正方体，它的6个面被分别涂上了不同的颜色，并且在每个面上至少贴有一张纸

条。用不同的方法来摆放这个正方体，并从不同的角度拍下照片。

薄（1）洗出照片后，把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来，最多可以选出多

少张照片？

蚁（2）观察（1）中选出的照片，发现各张照片里的纸条数各不相同。问：整个正方体最少

贴有多少张纸条？

薂分析与解：(1)1个面的6张，2个面的12张，3个面的8张，共6+12+8=26张。

肅(2)关于拍摄的方法，先考虑含有某种颜色的一个面，如对蓝色的面，单独拍摄它，只有1

种方法；拍两个面或三个面，都有4种方法，合计是9种方法。即有9张照片含有蓝色的面。

同理，含有其他颜色的面的照片也各有9张。

蚆 又因为各张照片里的纸条数各不相同，并且在每个面上至少贴有一张纸条，故26张

照片的纸条数的合计至少是1+2+3+…+26=351（张）。

螁故整个正方体最少贴有351÷9=39（张）纸条。具体贴法如下图，其中1的对面是2，3

3

的对面是6，9的对面是18。

蚈超级训练

葿把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放,它的外表含有

膄若干个小正方形,如果将图中标有字母A的一个小正方体搬去,

羁这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比

羁（C）减少2个 虿（D）减少3个膀薀（A）不增不减 羇（B）减少1个 肀

螅（A） 膀（B） 葿（C）衿（D）

蒄4.（1997年希望杯全国数学邀请赛试题）

薄将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各面上的某些小方格

涂上黑色，如图所示，而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同，

这时，至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是（ ）

袀（A）18 （B）20 （C）22 （D）24

芆5.如图是由若干相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则这个几何体有

4

芁6．下面每个图形是由6个大小相同的正方体组成的,其中能折成正方体的有________(填 ①②③④)

芅7．把一个棱长为8cm的立方体表面涂上油漆，然后切割成一个个棱长为2cm的小立方体，那么，任何一面都没有涂上油漆的小立方体的个数是________；只有一面涂上油漆的小立方体的个数是________；恰有两面涂上油漆的小立方体的个数是________。

螄8．下图是由若干个大小相同的小正方体摆成的几何体的主视图，左视图和俯视图，那么 组成这个几何体共用了___________个小正方体。

蒆9．如图，试沿一条线将它剪开，得到两个正方体表面的平面展开图：

肄10．下图是由几个小立方体所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方 体的个数，如果每个小立方体的棱长是1cm，那么这个几何体的表面积是____________cm2。

螄三、解答题

叫正八面体）

袃12．下图是由五个小立方体所搭的几何体的俯视图，画出它的左视图和主视图。

袄13.（2001年第16届江苏省初中数学竞赛试题）

腿把两个长3cm、宽2cm、高1cm的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切分成两个大小相同的小长方体，末了一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面

积大多少？

蚆14.桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从正南方向看如下左图，从正东方向看如下 右图，要摆出这样的图形至多用多少块正方体木块？至少需要多少块正方体木块？

袆15.设计一种方法，把一个正方体分割成（1）20个小正方体.；（2）53个小正方体.

的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成相同的图案。见例图。例图中正方体的每一个面的图案都相同。因此，用8个或9个黑色的小正方体就可以拼成这样的大正方体。除例图的图案之外，还可以拼成每一个面的图案都相同的大正方体。

莈（例图）

蚅问①：在下图（1）-（7）中找出可以拼成每面都相同的图案；

肃问②：在问①中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多用几个？

最少用几个？

羁超级训练题答案与提示

袆第9章 空间图形认识初步

莄1．D 2．A 3．C

有被涂黑，顶面中间一排左右两个小正方体，及其地面相对应的两个小正方体没有被涂黑。总共有7个小正方体没有被涂黑。其余20个小正方体至少有一面被涂黑了。
膃4．B 从图中可以看出大正方体正面中心的一个小正方体，以及它后面的两个小正方体没

膈5．

膃9．依下图的粗线剪开即可

芃10．46 先想象出这个几何体的形状，再分别求出从各个方向看去的面积。

蕿11．不能组成正八面体的图形是C，D，E，F。

羅其中D，E是因为有五个三角形共有一个顶点，而正八面体是四个三角形共有一个顶点，故应排除D，E。

芆 C，F在折叠后会有某两个三角形重合，也应予以排除。

莃12．下图中左边是主视图，右边是左视图：
13．设原先的小长方体称为A型体，将这两个A 型体最小面1cm×2cm粘合成一个大长方体：1cm×2cm×6cm。将这大长方体从最小边开始，在面1cm×6cm中间切开，成为两个B型小长方体：0.5cm×2cm×6cm. 一个A型小长方体表面积S1=2（1×2+1×3+2×3）=22(cm2),一个B型小长方体表面积S2=2(0.5×2+0.5×6+2×6)=32(cm2).

6

一个B型小长方体表面积与一个A型小长方体表面积可以相差10cm2,这是差的最大值。

14．最多可放置20个正方体木块，最少放置6个小正方体放置方法如下图：
15．（1）先将一个正方体分割成27个小正方体，再将其中角上的8个小正方体合并成一个正方体，就可以得到20个正方体。

（2）先将一个正方体分割成8个小正方体，再将其中的一个分割成27个小正方体，这样就得到了34个正方体，再依（1）的方法将其中的一个分割成20个小正方体，这样就得到了53个正方体。

16．问①：图中的（3）（4）（5）（6）可以；
问②：最多用10个，最少用4个
使用最多时，包括位于这个大立方体的中心的从上下左右哪个方向都看不到的黑色小立

方体。

Forpersonal use only in study and research; not for commercial use

7